Newest Post
Archive for Desember 2014
Selain untuk mengidentifikasi matriks singular, determinan juga dapat digunakan untuk membangun rumus dalam menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear. Sekarang mari kita bandingkan sistem umum
yang berukuran 2 × 2, dan sistem khusus yang juga berukuran 2 × 2
berikut ini. Untuk menuju suatu solusi yang memuat determinan, koefisien
dari x kita tuliskan sebagai a11 dan a21, sedangkan koefisien y kita tuliskan sebagai a12 dan a22.

Perhatikan bahwa jumlah dari suku-x di kedua sistem adalah nol. Penulisan solusi di sebelah kiri memang dibiarkan tidak sederhana agar kita dapat membandingkan pola yang dibangun untuk sistem umum yang terletak di sebelah kanannya. Selanjutnya kita akan menyelesaikannya untuk mendapatkan nilai y.

Di sebelah kiri kita menemukan y = –7/–7 = 1 dan dengan melakukan substitusi-balik kita mendapatkan x = 2. Tetapi yang lebih penting, di sebelah kanan kita mendapatkan suatu rumus untuk menentukan nilai y:

Apabila dari awal kita memilih untuk menyelesaikan x, maka kita akan mendapatkan

Perhatikan bahwa rumus-rumus tersebut akan terdefinisi jika a11a22 – a21a12 ≠ 0. Selain itu, penyebut dari solusi tersebut merupakan determinan dari matriks koefisien

Karena pembilangnya juga merupakan selisih dari perkalian, kita dapat menyelidiki kemungkinan bahwa nilai dalam pembilang tersebut juga dapat dituliskan sebagai determinan. Kita dapat menuliskan kembali pembilang untuk nilai x sebagai determinan dari matriks

yang apabila diperhatikan, matriks tersebut terbentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel x dengan suku-suku konstantanya.

Hal ini juga terjadi pada pembilang dari y, yang juga dapat diganti dengan determinan yang memiliki bentuk

atau suatu determinan dari matriks yang dibentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel y dengan suku-suku konstanta.

Apabila kita menggunakan notasi Dy untuk determinan tersebut, Dx untuk determinan dimana koefisien-koefisien x diganti dengan konstanta, dan D sebagai determinan dari matriks koefisien—solusi dari sistem yang diberikan dapat ditentukan dengan rumus di halaman berikutnya, yang disebut sebagai aturan Cramer.
UNTUK LEBIH JELASNYA SILAHKAN klik disini

Perhatikan bahwa jumlah dari suku-x di kedua sistem adalah nol. Penulisan solusi di sebelah kiri memang dibiarkan tidak sederhana agar kita dapat membandingkan pola yang dibangun untuk sistem umum yang terletak di sebelah kanannya. Selanjutnya kita akan menyelesaikannya untuk mendapatkan nilai y.

Di sebelah kiri kita menemukan y = –7/–7 = 1 dan dengan melakukan substitusi-balik kita mendapatkan x = 2. Tetapi yang lebih penting, di sebelah kanan kita mendapatkan suatu rumus untuk menentukan nilai y:

Apabila dari awal kita memilih untuk menyelesaikan x, maka kita akan mendapatkan

Perhatikan bahwa rumus-rumus tersebut akan terdefinisi jika a11a22 – a21a12 ≠ 0. Selain itu, penyebut dari solusi tersebut merupakan determinan dari matriks koefisien

Karena pembilangnya juga merupakan selisih dari perkalian, kita dapat menyelidiki kemungkinan bahwa nilai dalam pembilang tersebut juga dapat dituliskan sebagai determinan. Kita dapat menuliskan kembali pembilang untuk nilai x sebagai determinan dari matriks

yang apabila diperhatikan, matriks tersebut terbentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel x dengan suku-suku konstantanya.

Hal ini juga terjadi pada pembilang dari y, yang juga dapat diganti dengan determinan yang memiliki bentuk

atau suatu determinan dari matriks yang dibentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel y dengan suku-suku konstanta.

Apabila kita menggunakan notasi Dy untuk determinan tersebut, Dx untuk determinan dimana koefisien-koefisien x diganti dengan konstanta, dan D sebagai determinan dari matriks koefisien—solusi dari sistem yang diberikan dapat ditentukan dengan rumus di halaman berikutnya, yang disebut sebagai aturan Cramer.
UNTUK LEBIH JELASNYA SILAHKAN klik disini
MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 1 : Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
1. Dua bangun datar yang sebangun
Kedua bangun di atas, ABCD dan KLMN adalah dua bangun yang sebangun, karena memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
2. Dua segi tiga yang sebangun
Segitiga ABC dan PQR adalah sebangun, karena memiliki sifat :
a. Perbandingan sisi yang sama besar bersesuaian sama besar, yaitu :
Jadi,
Perhatikan segitiga berikut !
Pada segitiga siku-siku dapat dibuat garis tinggi ke sisi miring, maka diperoleh rumus :
AB2 = BD x BC
AC2 = CD x CB
AD2 = BD x CD
Kongruenan Bangun
1. Dua bangun datar yang kongruen
Perhatikan dua bangun datar berikut !
KL = PQ
LM = QR
MN = RS
NK = SP
KLMN dan PQRS kongruen. Dua bangun dikatakan kongruen jika kedua bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama.
2. Dua segitiga yang kongruen
Secara geometris dua segitiga konsruen adalah dua segitiga yang saling menutpi dengan tepat. Sifat dua segitiga kongruen :
a. Pasangan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
b. Sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat dua segitiga kongruen adalah sebagai berikut :
Tiga sisi yang bersesuaian sama besar (sisi, sisi, sisi)
AB = PQ (sisi)
AC = PR (sisi)
BC = QR (sisi)
Dua sisi dan satu sudut apit yang bersesuaian sama besar (sisi, sudut, sisi)
AB = PQ (sisi)
BC = QR (sisi)
c. Satu sisi api dan dua sudut bersesuaian sama besar (sudut, sisi, sudut)
![]() |
AC = RP (sisi)
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm – 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
berikut ini buku adalah materi matematika untuk siswa SMP kelas 8 kurikulum 2013
silahkan di unduh disini semoga menjadi referensi yang bermanfaat.
silahkan di unduh disini semoga menjadi referensi yang bermanfaat.
Prezi adalah sebuah perangkat lunak untuk presentasi berbasis internet (SaaS).
Selain untuk presentasi, Prezi juga dapat digunakan sebagai alat untuk
mengeksplorasi dan berbagi ide di atas kanvas virtual. Prezi menjadi
unggul karena program ini menggunakan en:Zooming User Interface (ZUI), yang memungkinkan pengguna Prezi untuk memperbesar dan memperkecil tampilan media presentasi mereka.
Prezi digunakan sebagai alat untuk membuat presentasi dalam bentuk linier maupun non-linier, yaitu presentasi terstruktur sebagai contoh dari presentasi linier, atau presentasi berbentuk peta-pikiran (mind-map) sebagai contoh dari presentasi non-linier. Pada Prezi, teks, gambar, video, dan media presentasi lainnya ditempatkan di atas kanvas presentasi, dan dapat dikelompokkan dalam bingkai-bingkai yang telah disediakan. Pengguna kemudian menentukan ukuran relatif dan posisi antara semua obyek presentasi dan dapat mengitari serta menyorot obyek-obyek tersebut. Untuk membuat presentasi linier, pengguna dapat membangun jalur navigasi presentasi yang telah ditentukan sebelumnya.
Prezi pada awalnya dikembangkan oleh arsitek Hungaria bernama Adam Somlai-Fischer sebagai alat visualisasi arsitektur. Misi yang dinyatakan oleh Prezi adalah untuk “membuat berbagi ide menjadi lebih menarik”, dan Prezi sengaja dibuat untuk menjadi alat untuk mengembangkan dan berbagi ide dalam bentuk visual yang bersifat naratif
CONTOH PREZI SILAHKAN klik disini
Prezi digunakan sebagai alat untuk membuat presentasi dalam bentuk linier maupun non-linier, yaitu presentasi terstruktur sebagai contoh dari presentasi linier, atau presentasi berbentuk peta-pikiran (mind-map) sebagai contoh dari presentasi non-linier. Pada Prezi, teks, gambar, video, dan media presentasi lainnya ditempatkan di atas kanvas presentasi, dan dapat dikelompokkan dalam bingkai-bingkai yang telah disediakan. Pengguna kemudian menentukan ukuran relatif dan posisi antara semua obyek presentasi dan dapat mengitari serta menyorot obyek-obyek tersebut. Untuk membuat presentasi linier, pengguna dapat membangun jalur navigasi presentasi yang telah ditentukan sebelumnya.
Prezi pada awalnya dikembangkan oleh arsitek Hungaria bernama Adam Somlai-Fischer sebagai alat visualisasi arsitektur. Misi yang dinyatakan oleh Prezi adalah untuk “membuat berbagi ide menjadi lebih menarik”, dan Prezi sengaja dibuat untuk menjadi alat untuk mengembangkan dan berbagi ide dalam bentuk visual yang bersifat naratif
CONTOH PREZI SILAHKAN klik disini
Adobe Flash (dahulu bernama Macromedia Flash) adalah salah satu perangkat lunak komputer yang merupakan produk unggulan Adobe Systems. Adobe Flash digunakan untuk membuat gambar vektor maupun animasi gambar tersebut. Berkas yang dihasilkan dari perangkat lunak ini mempunyai file extension .swf dan dapat diputar di penjelajah web yang telah dipasangi Adobe Flash Player. Flash menggunakan bahasa pemrograman bernama ActionScript yang muncul pertama kalinya pada Flash 5.
Sebelum tahun 2005, Flash dirilis oleh Macromedia. Flash 1.0 diluncurkan pada tahun 1996 setelah Macromedia membeli program animasi vektor bernama FutureSplash. Versi terakhir yang diluncurkan di pasaran dengan menggunakan nama 'Macromedia' adalah Macromedia Flash 8. Pada tanggal 3 Desember 2005 Adobe Systems mengakuisisi Macromedia dan seluruh produknya, sehingga nama Macromedia Flash berubah menjadi Adobe Flash.
Adobe Flash merupakan sebuah program yang didesain khusus oleh Adobe dan program aplikasi standar authoring tool professional yang digunakan untuk membuat animasi dan bitmap yang sangat menarik untuk keperluan pembangunan situs web yang interaktif dan dinamis. Flash didesain dengan kemampuan untuk membuat animasi 2 dimensi yang handal dan ringan sehingga flash banyak digunakan untuk membangun dan memberikan efek animasi pada website, CD Interaktif dan yang lainnya. Selain itu aplikasi ini juga dapat digunakan untuk membuat animasi logo, movie, game, pembuatan navigasi pada situs web, tombol animasi, banner, menu interaktif, interaktif form isian, e-card, screen saver dan pembuatan aplikasi-aplikasi web lainnya. Dalam Flash, terdapat teknik-teknik membuat animasi, fasilitas action script, filter, custom easing dan dapat memasukkan video lengkap dengan fasilitas playback FLV. Keunggulan yang dimiliki oleh Flash ini adalah ia mampu diberikan sedikit code pemograman baik yang berjalan sendiri untuk mengatur animasi yang ada didalamnya atau digunakan untuk berkomunikasi dengan program lain seperti HTML, PHP, dan Database dengan pendekatan XML, dapat dikolaborasikan dengan web, karena mempunyai keunggulan antara lain kecil dalam ukuran file outputnya
Movie-movie Flash memiliki ukuran file yang kecil dan dapat ditampilkan dengan ukuran layar yang dapat disesuaikan dengan keingginan. Aplikasi Flash merupakan sebuah standar aplikasi industri perancangan animasi web dengan peningkatan pengaturan dan perluasan kemampuan integrasi yang lebih baik. Banyak fiture-fiture baru dalam Flash yang dapat meningkatkan kreativitas dalam pembuatan isi media yang kaya dengan memanfaatkan kemampuan aplikasi tersebut secara maksimal. Fiture-fiture baru ini membantu kita lebih memusatkan perhatian pada desain yang dibuat secara cepat, bukannya memusatkan pada cara kerja dan penggunaan aplikasi tersebut. Flash juga dapat digunakan untuk mengembangkan secara cepat aplikasi-aplikasi web yang kaya dengan pembuatan script tingkat lanjut. Di dalam aplikasinya juga tersedia sebuah alat untuk men-debug script. Dengan menggunakan Code hint untuk mempermudah dan mempercepat pembuatan dan pengembangan isi ActionScript secara otomatis. Untuk memahami keamanan Adobe Flash dapat dilihat dari beberapa sudut pandang, berdasarkan beberapa sumber referensi bahwa tidak ada perbedaan menyolok antara HTML dan JavaScript dimana didalamnya terdapat banyak tools yang dapat diambil dari SWF termasuk ActionScript. Sehingga kode data dapat terjamin keamanannya. Oleh sebab itu, semua kebutuhan data yang terdapat dalam SWF dapat diambil kembali melalui server. Keuntungan menggunakan metode yang sama dengan menggunakan aplikasi web yang standar adalah akan menjamin dan mengamankanpenyimpanan dan perpindahan data.
UNTUK CONTOH FLASH SILAHKAN klik disini dan disini
Sebelum tahun 2005, Flash dirilis oleh Macromedia. Flash 1.0 diluncurkan pada tahun 1996 setelah Macromedia membeli program animasi vektor bernama FutureSplash. Versi terakhir yang diluncurkan di pasaran dengan menggunakan nama 'Macromedia' adalah Macromedia Flash 8. Pada tanggal 3 Desember 2005 Adobe Systems mengakuisisi Macromedia dan seluruh produknya, sehingga nama Macromedia Flash berubah menjadi Adobe Flash.
Adobe Flash merupakan sebuah program yang didesain khusus oleh Adobe dan program aplikasi standar authoring tool professional yang digunakan untuk membuat animasi dan bitmap yang sangat menarik untuk keperluan pembangunan situs web yang interaktif dan dinamis. Flash didesain dengan kemampuan untuk membuat animasi 2 dimensi yang handal dan ringan sehingga flash banyak digunakan untuk membangun dan memberikan efek animasi pada website, CD Interaktif dan yang lainnya. Selain itu aplikasi ini juga dapat digunakan untuk membuat animasi logo, movie, game, pembuatan navigasi pada situs web, tombol animasi, banner, menu interaktif, interaktif form isian, e-card, screen saver dan pembuatan aplikasi-aplikasi web lainnya. Dalam Flash, terdapat teknik-teknik membuat animasi, fasilitas action script, filter, custom easing dan dapat memasukkan video lengkap dengan fasilitas playback FLV. Keunggulan yang dimiliki oleh Flash ini adalah ia mampu diberikan sedikit code pemograman baik yang berjalan sendiri untuk mengatur animasi yang ada didalamnya atau digunakan untuk berkomunikasi dengan program lain seperti HTML, PHP, dan Database dengan pendekatan XML, dapat dikolaborasikan dengan web, karena mempunyai keunggulan antara lain kecil dalam ukuran file outputnya
Movie-movie Flash memiliki ukuran file yang kecil dan dapat ditampilkan dengan ukuran layar yang dapat disesuaikan dengan keingginan. Aplikasi Flash merupakan sebuah standar aplikasi industri perancangan animasi web dengan peningkatan pengaturan dan perluasan kemampuan integrasi yang lebih baik. Banyak fiture-fiture baru dalam Flash yang dapat meningkatkan kreativitas dalam pembuatan isi media yang kaya dengan memanfaatkan kemampuan aplikasi tersebut secara maksimal. Fiture-fiture baru ini membantu kita lebih memusatkan perhatian pada desain yang dibuat secara cepat, bukannya memusatkan pada cara kerja dan penggunaan aplikasi tersebut. Flash juga dapat digunakan untuk mengembangkan secara cepat aplikasi-aplikasi web yang kaya dengan pembuatan script tingkat lanjut. Di dalam aplikasinya juga tersedia sebuah alat untuk men-debug script. Dengan menggunakan Code hint untuk mempermudah dan mempercepat pembuatan dan pengembangan isi ActionScript secara otomatis. Untuk memahami keamanan Adobe Flash dapat dilihat dari beberapa sudut pandang, berdasarkan beberapa sumber referensi bahwa tidak ada perbedaan menyolok antara HTML dan JavaScript dimana didalamnya terdapat banyak tools yang dapat diambil dari SWF termasuk ActionScript. Sehingga kode data dapat terjamin keamanannya. Oleh sebab itu, semua kebutuhan data yang terdapat dalam SWF dapat diambil kembali melalui server. Keuntungan menggunakan metode yang sama dengan menggunakan aplikasi web yang standar adalah akan menjamin dan mengamankanpenyimpanan dan perpindahan data.
UNTUK CONTOH FLASH SILAHKAN klik disini dan disini
Pergeseran/Translasi

Pada gambar di atas, segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Rumus:

- a menyatakan pergeseran horizontal (ke kanan +, ke kiri –)
- b menyatakan pergeseran vertikal ( ke atas +, ke kiri –)
Pencerminan/Refleksi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
- terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
- terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
- terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
- terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
- terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:
- terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
- terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c
Jika m = tan θ maka:
Perputaran/Rotasi

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:
- +90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
- +270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
- +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Penskalaan/Dilatasi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:
- dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
- dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)
Rumus:
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):
Gusuran/Shearing

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) digusur:
- menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(6, 1), C2(16, 6), D2(13, 6)
- menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 3), B3(4, 9), C3(4, 14), D3(1, 8)
- untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
- untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah
Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k

Regangan/Stretching

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:
- searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6)
- searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)
- untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
- untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah
Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

Komposisi Transformasi
→ adalah gabungan dari beberapa transformasi→ T1 dilanjutkan oleh T2 ditulis: T2 o T1

Komposisi khusus:
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar:




3. Dua pencerminan terhadap 2 sumbu yang berpotongan ekivalen dengan rotasi dengan titik pusat titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekivalen dengan rotasi dengan pusat tersebut sejauh jumlah sudut keduanya
Luas Hasil Transformasi
Transformasi berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda
Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya:

Mencari Persamaan Hasil Transformasi
Contoh:Tentukan persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Cara 1: cara langsung

Cara 2: dengan matriks

PPT TRANSFORMASI GEOMETRI klik disini