Dwi Wisdyanti

Selain untuk mengidentifikasi matriks singular, determinan juga dapat digunakan untuk membangun rumus dalam menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear. Sekarang mari kita bandingkan sistem umum yang berukuran 2 × 2, dan sistem khusus yang juga berukuran 2 × 2 berikut ini. Untuk menuju suatu solusi yang memuat determinan, koefisien dari x kita tuliskan sebagai a₁₁ dan a₂₁, sedangkan koefisien y kita tuliskan sebagai a₁₂ dan a₂₂.

Perhatikan bahwa jumlah dari suku-x di kedua sistem adalah nol. Penulisan solusi di sebelah kiri memang dibiarkan tidak sederhana agar kita dapat membandingkan pola yang dibangun untuk sistem umum yang terletak di sebelah kanannya. Selanjutnya kita akan menyelesaikannya untuk mendapatkan nilai y.

Di sebelah kiri kita menemukan y = –7/–7 = 1 dan dengan melakukan substitusi-balik kita mendapatkan x = 2. Tetapi yang lebih penting, di sebelah kanan kita mendapatkan suatu rumus untuk menentukan nilai y:

Apabila dari awal kita memilih untuk menyelesaikan x, maka kita akan mendapatkan

Perhatikan bahwa rumus-rumus tersebut akan terdefinisi jika a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂ ≠ 0. Selain itu, penyebut dari solusi tersebut merupakan determinan dari matriks koefisien

Karena pembilangnya juga merupakan selisih dari perkalian, kita dapat menyelidiki kemungkinan bahwa nilai dalam pembilang tersebut juga dapat dituliskan sebagai determinan. Kita dapat menuliskan kembali pembilang untuk nilai x sebagai determinan dari matriks

yang apabila diperhatikan, matriks tersebut terbentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel x dengan suku-suku konstantanya.

Hal ini juga terjadi pada pembilang dari y, yang juga dapat diganti dengan determinan yang memiliki bentuk

atau suatu determinan dari matriks yang dibentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel y dengan suku-suku konstanta.

Apabila kita menggunakan notasi D_y untuk determinan tersebut, D_x untuk determinan dimana koefisien-koefisien x diganti dengan konstanta, dan D sebagai determinan dari matriks koefisien—solusi dari sistem yang diberikan dapat ditentukan dengan rumus di halaman berikutnya, yang disebut sebagai aturan Cramer.

UNTUK LEBIH JELASNYA SILAHKAN klik disini 

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 1 : Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

CONTOH SOAL



Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.

Jawab:
a. AC² = AB²+BC²
= 6² + 8²
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB² = AD x AC
6² = AD x 10
36 = AD x l0
AD =³⁶/₁₀
= 3,6 cm
DC = l0 cm – 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD² = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm

ini buku pegangan guru matematika k-13


silahkan diunduh disini

ini dia buku k-13 untuk kelas 10 SMA


SILAHKAN UNDUH disini

berikut ini buku adalah materi matematika untuk siswa SMP kelas 8 kurikulum 2013
silahkan di unduh disini semoga menjadi referensi yang bermanfaat.

Prezi adalah sebuah perangkat lunak untuk presentasi berbasis internet (SaaS). Selain untuk presentasi, Prezi juga dapat digunakan sebagai alat untuk mengeksplorasi dan berbagi ide di atas kanvas virtual. Prezi menjadi unggul karena program ini menggunakan en:Zooming User Interface (ZUI), yang memungkinkan pengguna Prezi untuk memperbesar dan memperkecil tampilan media presentasi mereka.
Prezi digunakan sebagai alat untuk membuat presentasi dalam bentuk linier maupun non-linier, yaitu presentasi terstruktur sebagai contoh dari presentasi linier, atau presentasi berbentuk peta-pikiran (mind-map) sebagai contoh dari presentasi non-linier. Pada Prezi, teks, gambar, video, dan media presentasi lainnya ditempatkan di atas kanvas presentasi, dan dapat dikelompokkan dalam bingkai-bingkai yang telah disediakan. Pengguna kemudian menentukan ukuran relatif dan posisi antara semua obyek presentasi dan dapat mengitari serta menyorot obyek-obyek tersebut. Untuk membuat presentasi linier, pengguna dapat membangun jalur navigasi presentasi yang telah ditentukan sebelumnya.
Prezi pada awalnya dikembangkan oleh arsitek Hungaria bernama Adam Somlai-Fischer sebagai alat visualisasi arsitektur. Misi yang dinyatakan oleh Prezi adalah untuk “membuat berbagi ide menjadi lebih menarik”, dan Prezi sengaja dibuat untuk menjadi alat untuk mengembangkan dan berbagi ide dalam bentuk visual yang bersifat naratif

 CONTOH PREZI SILAHKAN klik disini

Adobe Flash (dahulu bernama Macromedia Flash) adalah salah satu perangkat lunak komputer yang merupakan produk unggulan Adobe Systems. Adobe Flash digunakan untuk membuat gambar vektor maupun animasi gambar tersebut. Berkas yang dihasilkan dari perangkat lunak ini mempunyai file extension .swf dan dapat diputar di penjelajah web yang telah dipasangi Adobe Flash Player. Flash menggunakan bahasa pemrograman bernama ActionScript yang muncul pertama kalinya pada Flash 5.
Sebelum tahun 2005, Flash dirilis oleh Macromedia. Flash 1.0 diluncurkan pada tahun 1996 setelah Macromedia membeli program animasi vektor bernama FutureSplash. Versi terakhir yang diluncurkan di pasaran dengan menggunakan nama 'Macromedia' adalah Macromedia Flash 8. Pada tanggal 3 Desember 2005 Adobe Systems mengakuisisi Macromedia dan seluruh produknya, sehingga nama Macromedia Flash berubah menjadi Adobe Flash.
Adobe Flash merupakan sebuah program yang didesain khusus oleh Adobe dan program aplikasi standar authoring tool professional yang digunakan untuk membuat animasi dan bitmap yang sangat menarik untuk keperluan pembangunan situs web yang interaktif dan dinamis. Flash didesain dengan kemampuan untuk membuat animasi 2 dimensi yang handal dan ringan sehingga flash banyak digunakan untuk membangun dan memberikan efek animasi pada website, CD Interaktif dan yang lainnya. Selain itu aplikasi ini juga dapat digunakan untuk membuat animasi logo, movie, game, pembuatan navigasi pada situs web, tombol animasi, banner, menu interaktif, interaktif form isian, e-card, screen saver dan pembuatan aplikasi-aplikasi web lainnya. Dalam Flash, terdapat teknik-teknik membuat animasi, fasilitas action script, filter, custom easing dan dapat memasukkan video lengkap dengan fasilitas playback FLV. Keunggulan yang dimiliki oleh Flash ini adalah ia mampu diberikan sedikit code pemograman baik yang berjalan sendiri untuk mengatur animasi yang ada didalamnya atau digunakan untuk berkomunikasi dengan program lain seperti HTML, PHP, dan Database dengan pendekatan XML, dapat dikolaborasikan dengan web, karena mempunyai keunggulan antara lain kecil dalam ukuran file outputnya
Movie-movie Flash memiliki ukuran file yang kecil dan dapat ditampilkan dengan ukuran layar yang dapat disesuaikan dengan keingginan. Aplikasi Flash merupakan sebuah standar aplikasi industri perancangan animasi web dengan peningkatan pengaturan dan perluasan kemampuan integrasi yang lebih baik. Banyak fiture-fiture baru dalam Flash yang dapat meningkatkan kreativitas dalam pembuatan isi media yang kaya dengan memanfaatkan kemampuan aplikasi tersebut secara maksimal. Fiture-fiture baru ini membantu kita lebih memusatkan perhatian pada desain yang dibuat secara cepat, bukannya memusatkan pada cara kerja dan penggunaan aplikasi tersebut. Flash juga dapat digunakan untuk mengembangkan secara cepat aplikasi-aplikasi web yang kaya dengan pembuatan script tingkat lanjut. Di dalam aplikasinya juga tersedia sebuah alat untuk men-debug script. Dengan menggunakan Code hint untuk mempermudah dan mempercepat pembuatan dan pengembangan isi ActionScript secara otomatis. Untuk memahami keamanan Adobe Flash dapat dilihat dari beberapa sudut pandang, berdasarkan beberapa sumber referensi bahwa tidak ada perbedaan menyolok antara HTML dan JavaScript dimana didalamnya terdapat banyak tools yang dapat diambil dari SWF termasuk ActionScript. Sehingga kode data dapat terjamin keamanannya. Oleh sebab itu, semua kebutuhan data yang terdapat dalam SWF dapat diambil kembali melalui server. Keuntungan menggunakan metode yang sama dengan menggunakan aplikasi web yang standar adalah akan menjamin dan mengamankanpenyimpanan dan perpindahan data.

UNTUK CONTOH FLASH SILAHKAN klik disini   dan disini

Pergeseran/Translasi

Pada gambar di atas, segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Rumus:

• a menyatakan pergeseran horizontal (ke kanan +, ke kiri –)
• b menyatakan pergeseran vertikal ( ke atas +, ke kiri –)

Pencerminan/Refleksi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap sumbu Y menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(-3, 9), B₂(-3, 3), C₂(-6, 3)
• terhadap sumbu X menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(3, -9), B₃(3, -3), C₃(6, -3)
• terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A₄B₄C₄ dengan koordinat A₄(-3, -9), B₄(-3, -3), C₄(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A₅B₅C₅ dengan koordinat A₅(-7, 9), B₅(-7, 3), C₅(-10, 3)
• terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A₆B₆C₆ dengan koordinat A₆(3, -7), B₆(3, -1), C₆(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

• terhadap garis y = x menjadi segitiga P₂Q₂R₂ dengan koordinat P₂(4, 6), Q₂(1, 6), R₂(1, 10)
• terhadap garis y = -x menjadi segitiga P₃Q₃R₃ dengan koordinat P₃(-4, -6), Q₃(-1, -6), R₃(-1, -10)

Rumus:
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Perputaran/Rotasi

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

• +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(-9, 3), B₂(-3, 3), C₂(-3, 6)
• +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₂(9, -3), B₂(3, -3), C₂(3, -6)
• +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A₄B₄C₄ dengan koordinat A₄(-3, -9), B₄(-3, -3), C₄(-6, -3)

Rumus:
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Penskalaan/Dilatasi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

• dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(1, 3), B₂(1, 1), C₂(2, 1)
• dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(6, 18), B₃(6, 6), C₃(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Rumus:
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Gusuran/Shearing

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) digusur:

• menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A₂B₂C₂D₂ dengan koordinat A₂(3, 1), B₂(6, 1), C₂(16, 6), D₂(13, 6)
• menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A₃B₃C₃D₃ dengan koordinat A₃(1, 3), B₃(4, 9), C₃(4, 14), D₃(1, 8)

Pengaruh nilai k:

• untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
• untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Rumus:
Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k

Regangan/Stretching

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:

• searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A₂B₂C₂D₂ dengan koordinat A₂(3, 1), B₂(12, 1), C₂(12, 6), D₂(3, 6)
• searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A₃B₃C₃D₃ dengan koordinat A₃(1, 2), B₃(4, 2), C₃(4, 12), D₃(1, 12)

Pengaruh nilai k:

• untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
• untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Rumus:
Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

Komposisi Transformasi

→ adalah gabungan dari beberapa transformasi
→ T₁ dilanjutkan oleh T₂ ditulis: T₂ o T₁

Komposisi khusus:
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar:



2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap 2 sumbu yang tegak lurus ekivalen dengan rotasi 180° yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu
3. Dua pencerminan terhadap 2 sumbu yang berpotongan ekivalen dengan rotasi dengan titik pusat titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekivalen dengan rotasi dengan pusat tersebut sejauh jumlah sudut keduanya

Luas Hasil Transformasi

Transformasi berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya:

Mencari Persamaan Hasil Transformasi

Contoh:
Tentukan persamaan bayangan kurva y = x² + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Cara 1: cara langsung

Cara 2: dengan matriks

 
PPT TRANSFORMASI GEOMETRI klik disini