Dwi Wisdyanti

Pergeseran/Translasi

Pada gambar di atas, segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Rumus:

• a menyatakan pergeseran horizontal (ke kanan +, ke kiri –)
• b menyatakan pergeseran vertikal ( ke atas +, ke kiri –)

Pencerminan/Refleksi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap sumbu Y menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(-3, 9), B₂(-3, 3), C₂(-6, 3)
• terhadap sumbu X menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(3, -9), B₃(3, -3), C₃(6, -3)
• terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A₄B₄C₄ dengan koordinat A₄(-3, -9), B₄(-3, -3), C₄(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

• terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A₅B₅C₅ dengan koordinat A₅(-7, 9), B₅(-7, 3), C₅(-10, 3)
• terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A₆B₆C₆ dengan koordinat A₆(3, -7), B₆(3, -1), C₆(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

• terhadap garis y = x menjadi segitiga P₂Q₂R₂ dengan koordinat P₂(4, 6), Q₂(1, 6), R₂(1, 10)
• terhadap garis y = -x menjadi segitiga P₃Q₃R₃ dengan koordinat P₃(-4, -6), Q₃(-1, -6), R₃(-1, -10)

Rumus:
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Perputaran/Rotasi

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

• +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(-9, 3), B₂(-3, 3), C₂(-3, 6)
• +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₂(9, -3), B₂(3, -3), C₂(3, -6)
• +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A₄B₄C₄ dengan koordinat A₄(-3, -9), B₄(-3, -3), C₄(-6, -3)

Rumus:
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Penskalaan/Dilatasi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

• dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(1, 3), B₂(1, 1), C₂(2, 1)
• dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(6, 18), B₃(6, 6), C₃(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.
Rumus:
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Gusuran/Shearing

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) digusur:

• menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A₂B₂C₂D₂ dengan koordinat A₂(3, 1), B₂(6, 1), C₂(16, 6), D₂(13, 6)
• menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A₃B₃C₃D₃ dengan koordinat A₃(1, 3), B₃(4, 9), C₃(4, 14), D₃(1, 8)

Pengaruh nilai k:

• untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
• untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Rumus:
Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k

Regangan/Stretching

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:

• searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A₂B₂C₂D₂ dengan koordinat A₂(3, 1), B₂(12, 1), C₂(12, 6), D₂(3, 6)
• searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A₃B₃C₃D₃ dengan koordinat A₃(1, 2), B₃(4, 2), C₃(4, 12), D₃(1, 12)

Pengaruh nilai k:

• untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
• untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Rumus:
Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

Komposisi Transformasi

→ adalah gabungan dari beberapa transformasi
→ T₁ dilanjutkan oleh T₂ ditulis: T₂ o T₁

Komposisi khusus:
1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar:



2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap 2 sumbu yang tegak lurus ekivalen dengan rotasi 180° yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu
3. Dua pencerminan terhadap 2 sumbu yang berpotongan ekivalen dengan rotasi dengan titik pusat titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu
4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekivalen dengan rotasi dengan pusat tersebut sejauh jumlah sudut keduanya

Luas Hasil Transformasi

Transformasi berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya:

Mencari Persamaan Hasil Transformasi

Contoh:
Tentukan persamaan bayangan kurva y = x² + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)
Cara 1: cara langsung

Cara 2: dengan matriks

 
PPT TRANSFORMASI GEOMETRI klik disini